शंकु परिच्छेद · नाभियाँ एवं उत्केन्द्रता
दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय के बीच बदलें; उत्केन्द्रता, नाभि, नियता और समीकरण देखें।
NCERT कक्षा 11 — अध्याय: Conic Sections।
सीखने के उद्देश्य
प्रयोग से पहले सूत्र द्वारा अनुमान लगाएँ, नियंत्रण बदलें और माप की तुलना करें। चित्र एक शिक्षण मॉडल है; उसकी सीमाएँ समझना भी आवश्यक है।
सिद्धान्त एवं सूत्र
दीर्घवृत्त का बिंदुपथ
a>b पर दो नाभियों से दूरियों का योग 2a होता है और c²=a²−b²।
सूत्र: (x−h)²/a² + (y−k)²/b² = 1
अतिपरवलय का बिंदुपथ
दो नाभियों से दूरियों के अंतर का परिमाण 2a है; c²=a²+b²।
सूत्र: (x−h)²/a² − (y−k)²/b² = 1
नाभि-नियता से परवलय
प्रत्येक बिंदु की नाभि (h+p,k) एवं नियता x=h−p से दूरी समान होती है।
सूत्र: (y−k)² = 4p(x−h)
उत्केन्द्रता का वर्गीकरण
0<e<1 दीर्घवृत्त, e=1 परवलय तथा e>1 अतिपरवलय दर्शाता है।
सूत्र: Ellipse: 0<e<1; Parabola: e=1; Hyperbola: e>1
निर्देशित प्रयोग
- दीर्घवृत्त नाभियाँ: a=2 रखकर b/a घटाएँ और नाभियों की दूरी का अनुमान लगाएँ।
- असम्पात रेखाएँ: a=2 और b/a=0.5 पर असम्पातों का ढलान देखें।
- परवलय का बिंदुपथ: परवलय पर बिंदु बदलें और नाभि/नियता से दूरियाँ मिलाएँ।
- स्थानांतरण: h,k बदलने पर आकृति की कौन-सी माप नहीं बदलती?
प्रश्न और उत्तर
प्रश्न 1: दीर्घवृत्त x²/25+y²/9=1 में c=
उत्तर B: c²=a²−b²=25−9=16; इसलिए c=4।
प्रश्न 2: मानक दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता
उत्तर A: दीर्घवृत्त में 0<c<a, अतः 0<e=c/a<1।
प्रश्न 3: y²=8x की नाभि
उत्तर B: 4p=8 से p=2; नाभि (2,0) है।
प्रश्न 4: अतिपरवलय x²/9−y²/16=1 में c
उत्तर C: c²=a²+b²=9+16=25; अतः c=5।
प्रश्न 5: परवलय की उत्केन्द्रता
उत्तर B: नाभि और नियता से दूरियाँ बराबर होती हैं; इसलिए e=1।
प्रश्न 6: x²/a²−y²/b²=1 के असम्पात की ढलान
उत्तर B: असम्पात y=±(b/a)x हैं; ढलान ±b/a।
सामान्य सावधानियाँ और सीमाएँ
Axes are aligned with coordinates; no general rotation is modeled. For ellipse b=ra with 0<r<1; for hyperbola b=ra; parabola uses y²=4px with p>0. Directrices for conics can extend beyond the viewport.
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