कलन · निश्चित समाकल एवं क्षेत्रफल
चिह्नित क्षेत्रफल देखें, रीमान योग को सटीक समाकल से तुलना करें और ऋणात्मक भागों का अर्थ समझें।
NCERT कक्षा 12 — अध्याय: Integrals।
सीखने के उद्देश्य
प्रयोग से पहले सूत्र द्वारा अनुमान लगाएँ, नियंत्रण बदलें और माप की तुलना करें। चित्र एक शिक्षण मॉडल है; उसकी सीमाएँ समझना भी आवश्यक है।
सिद्धान्त एवं सूत्र
निश्चित समाकल: शुद्ध क्षेत्रफल
x-अक्ष के ऊपर का क्षेत्रफल धनात्मक और नीचे का ऋणात्मक गिना जाता है।
सूत्र: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b)−F(a)
रीमान योग
आयतों का योग समाकल का सन्निकटन है; N बढ़ने पर सतत फलन के लिए अभिसरित होता है।
सूत्र: Sₙ = Σ f(xᵢ*) Δx; Δx=(b−a)/N
प्रतिअवकलन
चुने हुए बहुपद एवं ज्या फलन के लिए प्रतिअवकलज से सटीक मान निकाला जाता है।
सूत्र: ∫ sin x dx = −cos x+C; ∫ x² dx = x³/3+C
कलन का मूल प्रमेय
सतत f के लिए संचित क्षेत्रफल का अवकलज वर्तमान फलन मान है।
सूत्र: d/dx ∫ₐˣ f(t)dt = f(x)
निर्देशित प्रयोग
- सटीक और लगभग: f=x,[0,3] पर मध्यबिंदु N=4 से योग तथा सटीक 4.5 की तुलना करें।
- ऋणात्मक-धनात्मक निरसन: sin x, [−3,3] पर शुद्ध क्षेत्रफल 0 पर ज्यामितीय क्षेत्रफल धनात्मक क्यों?
- अभिसरण: x²−1,[−1,2] पर N=4 व N=64 का त्रुटि अंतर लिखें।
- सीमा एवं चिन्ह: f=x²−1 पर [−1,1] में समाकल ऋणात्मक क्यों?
प्रश्न और उत्तर
प्रश्न 1: ∫₀¹ x dx का मान
उत्तर B: प्रतिअवकलज x²/2 है; सीमा रखने पर 1/2।
प्रश्न 2: ∫₋₁¹ x³ dx
उत्तर A: विषम फलन का सममित सीमाओं पर समाकल शून्य होता है।
प्रश्न 3: ∫₀^π sin x dx
उत्तर C: [−cos x]₀^π=2।
प्रश्न 4: यदि [a,b] पर f(x)<0, तो समाकल
उत्तर C: जब a<b तथा f(x)<0 हो, तो समाकल ऋणात्मक होता है।
प्रश्न 5: f(x)=x पर [0,2] का समाकल
उत्तर B: [x²/2]₀²=2।
प्रश्न 6: सतत फलन के लिए N बढ़ाने पर मध्यबिंदु योग
उत्तर B: सतत फलन के रीमान योग N बढ़ने पर निश्चित समाकल की ओर जाते हैं।
सामान्य सावधानियाँ और सीमाएँ
A definite integral is signed area, not always geometric area. The rectangle sum samples left, right, or midpoints of equal subintervals. For geometric area we separately estimate ∫|f(x)|dx by numerical quadrature.
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