कलन · स्पर्शरेखा एवं अवकलज
स्पर्श बिंदु खिसकाएँ, छेदक/स्पर्शरेखा ढाल तुलना करें और चरम बिंदु खोजें।
NCERT कक्षा 12 — अध्याय: Applications of Derivatives।
सीखने के उद्देश्य
प्रयोग से पहले सूत्र द्वारा अनुमान लगाएँ, नियंत्रण बदलें और माप की तुलना करें। चित्र एक शिक्षण मॉडल है; उसकी सीमाएँ समझना भी आवश्यक है।
सिद्धान्त एवं सूत्र
छेदक और स्पर्शरेखा
छेदक रेखा दो बिंदु जोड़ती है; h शून्य की ओर जाने पर ढाल स्पर्शरेखा ढाल के पास आता है।
सूत्र: mₛ = [f(x₀+h)−f(x₀)]/h
अवकलज की परिभाषा
अवकलनीय फलन पर यह सीमा तात्क्षणिक परिवर्तन दर बताती है।
सूत्र: f′(x₀) = lim(h→0) [f(x₀+h)−f(x₀)]/h
घात तथा त्रिकोणमितीय नियम
साइन में कोण रेडियन में हैं। चुने गए फलनों का अवकलन विश्लेषणात्मक है।
सूत्र: d(xⁿ)/dx = nxⁿ⁻¹; d(sin x)/dx = cos x
स्थिर बिंदु
स्थिर बिंदु पर स्पर्शरेखा क्षैतिज है। f′ का चिन्ह परिवर्तन चरम बिंदु का प्रकार बताता है।
सूत्र: f′(x)=0 is necessary at an interior differentiable extremum
निर्देशित प्रयोग
- छेदक छोटा करें: घन फलन पर x₀=0.5 रखकर h को 2 से 0.1 तक घटाएँ।
- न्यूनतम खोजें: द्विघात फलन में x₀=1 पर f′(1)=0 क्यों?
- घन फलन के चरम: घन फलन पर x=−1 तथा x=1 के स्थिर बिंदु पहचानें।
- ज्या की ढाल: sin के लिए f′(0)=a तथा f′(π/2)=0 की तुलना करें।
प्रश्न और उत्तर
प्रश्न 1: x³−3x का अवकलज
उत्तर A: पदशः अवकलन से 3x²−3 मिलता है।
प्रश्न 2: y=x² पर x=2 पर ढाल
उत्तर B: f′(x)=2x; इसलिए f′(2)=4।
प्रश्न 3: y=(x−1)² का स्थिर बिंदु
उत्तर C: 2(x−1)=0 से x=1 मिलता है।
प्रश्न 4: lim(h→0) sin h / h
उत्तर B: रेडियन में मूल त्रिकोणमितीय सीमा का मान 1 है।
प्रश्न 5: sin x का अवकलज
उत्तर C: रेडियन के लिए d(sin x)/dx=cos x।
प्रश्न 6: अवकलनीय आंतरिक अधिकतम पर आवश्यकतः
उत्तर A: आंतरिक अवकलनीय चरम बिंदु पर फर्मा प्रमेय से f′=0।
सामान्य सावधानियाँ और सीमाएँ
The derivative is exact for the three displayed differentiable families. The secant difference quotient approximates the tangent only as h→0. This laboratory does not claim to test discontinuities or cusps.
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