द्विघात प्रयोगशाला · मूल और विविक्तकर
परवलय के गुणांक बदलें और शीर्ष, सममिति-अक्ष, विविक्तकर तथा वास्तविक मूलों का परिवर्तन देखें।
NCERT कक्षा 11 — अध्याय: Complex Numbers and Quadratic Equations।
सीखने के उद्देश्य
प्रयोग से पहले सूत्र द्वारा अनुमान लगाएँ, नियंत्रण बदलें और माप की तुलना करें। चित्र एक शिक्षण मॉडल है; उसकी सीमाएँ समझना भी आवश्यक है।
सिद्धान्त एवं सूत्र
मानक रूप और मूल
वास्तविक मूल वह बिंदु हैं जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता है। द्विघात सूत्र से वास्तविक अथवा सम्मिश्र मूल मिलते हैं।
सूत्र: ax² + bx + c = 0; a ≠ 0
विविक्तकर
Δ>0 पर दो अलग वास्तविक मूल; Δ=0 पर दोहरा मूल; Δ<0 पर सम्मिश्र संयुग्मी मूल होते हैं।
सूत्र: Δ = b² − 4ac; x = (−b ± √Δ)/(2a)
शीर्ष तथा सममिति
वर्ग पूर्ण करने पर शीर्ष रूप मिलता है। a>0 पर शीर्ष न्यूनतम और a<0 पर अधिकतम होता है।
सूत्र: xᵥ = −b/(2a); yᵥ = −Δ/(4a)
गुणांकों का प्रभाव
b बदलकर शीर्ष का क्षैतिज स्थान तथा c बदलकर ऊर्ध्वाधर स्थान देखें।
सूत्र: f′(x)=2ax+b
निर्देशित प्रयोग
- मूलों का अनुमान: a=1,b=−2,c=−3 रखकर गुणनखंड से मूल निकालें; स्क्रीन से मिलाएँ।
- प्रतिच्छेदों को मिलाएँ: a=1,b=−2,c=1 पर ग्राफ x-अक्ष को केवल स्पर्श क्यों करता है?
- वास्तविक मूल नहीं: a=1,b=0,c=2 पर वास्तविक प्रतिच्छेद नहीं; सम्मिश्र मूल समझाएँ।
- ग्राफ का परावर्तन: दिशा बदलकर b=c=0 रखें और अधिकतम/न्यूनतम का अंतर देखें।
प्रश्न और उत्तर
प्रश्न 1: x²−5x+6=0 के मूल क्या हैं?
उत्तर A: गुणनखंड (x−2)(x−3)=0 करने से मूल 2,3 प्राप्त होते हैं।
प्रश्न 2: x²+4x+4=0 का विविक्तकर क्या है?
उत्तर B: Δ=4²−4×1×4=0; अतः −2 दोहरा मूल है।
प्रश्न 3: यदि वास्तविक द्विघात के लिए Δ<0 हो, तो
उत्तर C: ऋणात्मक विविक्तकर होने पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता।
प्रश्न 4: 2x²+8x+1 के शीर्ष का x निर्देशांक
उत्तर B: xᵥ=−b/(2a)=−8/4=−2।
प्रश्न 5: a<0 पर परवलय का शीर्ष
उत्तर C: नीचे खुलते परवलय का शीर्ष अधिकतम बिंदु है।
प्रश्न 6: x²+1=0 के कितने वास्तविक मूल हैं?
उत्तर A: Δ=−4<0, इसलिए x-अक्ष पर कोई प्रतिच्छेद नहीं है।
सामान्य सावधानियाँ और सीमाएँ
Model is y=ax²+bx+c with a≠0. Negative discriminant means no real x-axis intersections; complex roots exist algebraically but are not plotted as real points.
यह निःशुल्क शैक्षणिक संसाधन है। अवधारणाओं और इकाइयों की जाँच करें। NANDAX और NCERT के बीच आधिकारिक संबद्धता का दावा नहीं है।