त्रिकोणमिति · इकाई वृत्त एवं तरंगें: पाठ एवं अभ्यास

त्रिकोणमिति · इकाई वृत्त एवं तरंगें

घूमती इकाई वृत्त त्रिज्या से ज्या, कोज्या, चतुर्थांश, फेज और आवर्ती ग्राफ का संबंध देखें।

NCERT कक्षा 11 — अध्याय: Trigonometric Functions।

सीखने के उद्देश्य

प्रयोग से पहले सूत्र द्वारा अनुमान लगाएँ, नियंत्रण बदलें और माप की तुलना करें। चित्र एक शिक्षण मॉडल है; उसकी सीमाएँ समझना भी आवश्यक है।

सिद्धान्त एवं सूत्र

इकाई वृत्त की परिभाषा

इकाई वृत्त पर x-निर्देशांक cos α तथा y-निर्देशांक sin α होता है।

सूत्र: (cos α, sin α); cos²α + sin²α = 1

रेडियन और डिग्री

एक चक्कर 360° या 2π रेडियन है। n गुणक पर आवर्तकाल 360°/n होता है।

सूत्र: α(rad) = α(°) × π/180

आयाम तथा फेज

A तरंग का आयाम तथा φ क्षैतिज फेज परिवर्तन नियंत्रित करता है।

सूत्र: y=A sin(nθ+φ)

चतुर्थांश से चिन्ह

द्वितीय चतुर्थांश में sin धनात्मक और cos ऋणात्मक होता है।

सूत्र: sin(π−α)=sin α; cos(π−α)=−cos α

निर्देशित प्रयोग

1. विशेष कोण: θ=0°,30°,45°,60°,90° के मान सूत्र से मिलाएँ।

1. चिन्ह जाँचें: θ को दूसरे, तीसरे और चौथे चतुर्थांश में ले जाकर चिन्ह लिखें।

1. आवृत्ति और आवर्त: n=1 से 3 करें; 360° में कितने पूरे चक्र आते हैं?

1. फेज समतुल्यता: n=1,A=1 पर sin(θ+90°)=cos θ की जाँच करें।

प्रश्न और उत्तर

प्रश्न 1: sin 30° का मान

उत्तर B: इकाई वृत्त से sin 30°=1/2।

प्रश्न 2: cos 120° क्या है?

उत्तर B: cos(180°−60°)=−cos 60°=−1/2।

प्रश्न 3: sin(3θ) का आवर्तकाल (डिग्री में)

उत्तर C: आवर्तकाल 360°/3=120° है।

प्रश्न 4: θ=270° पर sin θ

उत्तर A: 270° पर बिंदु (0,−1) है, अतः sin θ=−1।

प्रश्न 5: sin²θ+cos²θ का मान

उत्तर C: इकाई वृत्त के x²+y²=1 से पहचान सिद्ध होती है।

प्रश्न 6: sin(θ+90°) बराबर है

उत्तर C: योग सूत्र से sin(θ+90°)=cos θ मिलता है।

सामान्य सावधानियाँ और सीमाएँ

Angles are entered in degrees and converted to radians internally. The unit circle is always radius 1; the separate amplitude parameter scales only the waveform, not the geometric unit circle.

यह निःशुल्क शैक्षणिक संसाधन है। अवधारणाओं और इकाइयों की जाँच करें। NANDAX और NCERT के बीच आधिकारिक संबद्धता का दावा नहीं है।